上课材料之二

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1、上课材料之二:数学基础(Mathematics)第二章矩阵(Matrix)及其二次型(QuadraticForms)第三章分布函数(DistributionFunction),数学期望(Expectation)及方差(Variance)第四章数理统计(MathematicalStatistics)第二章矩阵及其二次型(MatrixanditsQuadraticForms)2.1矩阵的基本概念与运算一个mXn矩阵可表示为：ii久12…仏'a2a22…V••••••••仏2矩阵的加法较为简单，若C=A+B,Cij=aij+bij但矩阵的乘法的定义比较

2、特殊，若力是一个mXn)的矩阵,3是一个n

3、Xn的矩阵，则C=AB是一个mXn的矩阵，而He厂£仏入'一般来讲，ABH%，但如下运算是成立的：k=•结合律(AssociativeLaw)(AB)C=A(BC)•分配律(DistributiveLaw)A(B+C)=AB+AC问题：(A+B)2=A2+2AB+B2是否成立？向量(Vector)是一个有序的数纟fl,既可以按行，也可以按列排列。行向量(rowvector)是只有一行的向量，列向量(columnvector)只有一列的向量。如果a是一个标量,则aA=[a如。矩阵A的转置矩^(transp

4、osematrix)记为Ar,是通过把A的行向量变成相应的列向量而得到。显然(4》"，而且(A+B)'=A,+B,f•乘积的转置(Transposeofaproduction)(AB)r=B'A',(ABC)f=C'B'A'。•可逆矩阵(inversematrix),如果n级方阵(squarematrix)A和B,满足AB=BA=Io则称A、B是可逆矩阵，显然A=B~lfB=A-如下结果是成立的:(川)」=A(A_1)r=⑷“(AB)-1=fi-'A-1o2.2特殊矩阵1)恒等矩阵(identitymatrix)对角线上元素全为1,其余全为0,可

5、记为I；2)标量矩阵(seaIarmatrix)即形如aI的矩阵，其中a是标量；3)幕等矩阵(idempotentmatrix)如果矩阵A具有性质A.A=A2=A,这样的矩阵称为幕等矩阵。定理：幕等矩阵的特征根要么是1,要么是零。4)正定矩阵(positivedefinite)和负定矩阵(negativedefinite),非负定矩阵(normegative)或半正定矩阵(positivesemi-definite)，非正定矩阵(nonpositivedefinite)或半负定矩阵(negativesemi-definite)；対于任意的非零向量壬

6、，如有元依>0(<0),则称A是正(负)定矩阵；如有>0(W0),非负(非止)定矩阵。如果A是非负定的，则记为A20；如果是止定的，则记为A>0o协方差矩阵工是半正定矩阵，几个结论：a)恒等矩阵或单位矩阵是正定的；b)如果A是止定的，则人“也是止定的；c)如果A是正定的，B是可逆矩阵，则B'AB是正定的；d)如果A是一个nXm矩阵，且n>m,r(A)=m,则A'A是正定的，&4'是非负定矩阵。5)对称矩阵(symmetricmatrix)；如果A=Az,则A称为对称矩阵。2.3矩阵的迹(trace)一个nXn矩阵的迹被定义为它的对角线上的元索之和，

7、记为tr(A),贝0(A)=£〜，/=1如下结论是显然的。1)tr(oA)=atr(A)(a是标量)特例tr(I)=n2)tr(Ar)=tr(A)1)"(A+B)=f心)+"(B)2)tr(AB)=tr(BA),特例tr(AfA)=1=1J=l5)循环排列原则lr(ABCD)=lr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC)定理：实对称矩阵A的迹等于它的特征根之和。(A)因为A是实对称矩阵，故有在矩阵C,使得CfAC=*°，其中CC'=I,所以，XA=^(A)=rr(CzAC)=Zr(AC€)=tr(AI)=rr(A)01=12.4矩阵的秩(r

8、ank)一个矩阵A的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A),不加证明，我们给出如下结果：1)厂(A)=厂(川)Wmin(行数、列数)2)r(A)4-r(B)-nA

9、r(A-/)=n2.5统计量的矩阵表示向量可理解为特殊的矩阵。亍是一个其元素都为1的n维列向量,即?=(1,1,1),如果