立体几何中探究性问题的归纳与解法探究

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立体几何中探究性问题的归纳与解法探究高考中对立体几何的考查主要以空间位置关系的判断,空间角与距离的计算为主,而探究性问题是高考命题的热点,也是难点,常在解答题的最后一问中出现。本文就立体几何中的探索性问题进行类型归纳和解法梳理,以期对同学们的复习备考提供帮助。题型一、平行关系中的探索性问题例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,在四边形ABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4。图1(1)求证:CD⊥平面PAC。(2)在棱PC上是否存在点M(不包括端点),使得BM∥平面PAD?若存在,求的值;若不存在,说明理由。解析:(1)因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD。在直角梯形ABCD中,AC=CD=,所以AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD。又因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以CD⊥平面PAC。(2)不存在点M,使得BM∥平面PAD。法一:(反证法)假设在棱PC上存在点M异于点C,P,使得BM∥平面PAD。因为BC∥AD,且BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD。又因为BC∩BM=B,所以平面PBC∥平面PAD。而平面PBC与平面PAD相交,所以假设不成立,故不存在点M,使得BM∥平面PAD。

1图2方法点睛:对于探索性问题,应先假设其存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理论证得到了合乎情理的结论,就肯定假设;如果得到矛盾,就否定假设。还可借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式或不等式,解出参数的值或者范围,看所得范围或值是否在题意允许的范围之内,进而给出判断结果。例2如图3,已知正四棱锥S-ABCD的各条棱长都相等,且E,F分别是SD,SB的中点。

2图3(1)求证:AC⊥SB。(2)在棱SC上是否存在点M,使得平面MBD∥平面AEF?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。解析:(1)如图4,设AC∩BD=O,则O为底面正方形ABCD的中心,连接SO,因为S-ABCD为正四棱锥,所以SO⊥平面ABCD,所以SO⊥AC。又BD⊥AC,且SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD。因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB。图4(2)方法一:存在点M,设SO∩EF=G,连接AG,CG。取CG的中点H,连接OH并延长交SC于点M,因为O是AC的中点,所以OH∥AG,即OM∥AG。又EF∥BD,OM,BD⊄平面AEF,AG,EF⊂平面AEF,所以OM∥平面AEF,BD∥平面AEF。又OM∩BD=O,OM,BD⊂平面MBD,所以平面MBD∥平面AEF。在△SOC中,作GN∥HM交SC于N,则N是SM的中点,M是CN的中点,所以=2。

3图5方法点睛:(1)异面直线的垂直,应转化为线面垂直进行证明;(2)任何一对互相平行的平面,和第三个平面相交,则交线互相平行;(3)利用空间向量法,证明两个平面平行,只需要论证两个平面的法向量相同,在便于建立坐标系的情况下,应作为解题的首选方法,从而淡化推理,只需落实运算即可。题型二、垂直关系中的探索性问题例3如图6,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的边长为2,侧棱AA1=,D是AC的中点。图6(1)求证:B1C∥平面A1BD。

4(2)在侧棱AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由。解析:(1)连接AB1,交A1B于点M,连接MD。因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以四边形BAA1B1是矩形,所以M为AB1的中点。因为D是AC的中点,所以CB1∥DM。又DM⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD。图7方法点睛:(1)空间位置关系的证明,一般采取逆推的形式,本题中若B1C∥平面A1BD,则由线面平行性质定理可知,经过B1C的平面B1CA与平面A1BD的交线DM与B1C平行,因此只需证明DM与B1C平行,这类似于分析法的执果索因;(2)对于面面垂直的探索类问题,可以建系利用两个平面的法向量的数量积为0,完成探究。例4如图8,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面PAD是等腰直角三角形,平面PAD⊥平面

5图8ABCD,AD=2,AB=AP=,M为棱PC上的动点。(1)当点M到直线BD的距离最小时,求的值;(2)在(1)的条件下,过A,D,M作截面交PB于点N,求四棱锥P-ADMN的体积。图9图10方法点睛:(1)面面垂直的性质定理说明了垂线一定在垂面内,这是解决垂直的一个核心;(2)点M在棱PC上的位置是由点M到直线BD的距离最小确定的,这里隐藏了一个垂直探究,即BD⊥平面POC,也是确定点M的关键;(3)对于体积的求解,我们要有转化的思想,这也是立体几何解答题中体积求解问题的一个核心思想。

6题型三、空间角中的探索性问题例5如图11,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD上,N为BC的中点。图11(1)求二面角C-PD-N的正弦值。(2)在棱PD上是否存在点M,使得NM与平面PCD所成角的正弦值为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。图12

7例6如图13,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,BC⊥BA1。图13(1)求证:BC⊥AB。(2)若E为A1B的中点,三棱锥A-CEA1的体积为,试问:在线段CE上是否存在点P,使得二面角P-ABE的大小为30°?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。解析:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱,所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥BC。又因为BC⊥BA1,BB1∩BA1=B,BB1⊂平面ABB1A1,BA1⊂平面ABB1A1。所以BC⊥平面ABB1A1。因为AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB。图14

8方法点睛:(1)要熟知综合法中利用线垂直于面来证明线线垂直这一重要方法;(2)利用好共线向量性质定理中的λ,完成以动点在线上移动这一类背景命题的探究性问题。