高数(上)第八单元课后习题答案8-8

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1、习题8-81.求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值.解解方程组,求得驻点为(2,-2),由于A=fxx(2,-2)=-2<0,B=fxy(2,-2)=0,C=fyy(2,-2)=-2,AC-B2>0,所以在点(2,-2)处,函数取得极大值,极大值为f(2,-2)=8.2.求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值.解解方程组,得,,,,.因此驻点为(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4).函数的二阶偏导数为fxx(x,y)=-2(4y-y2),fxy(x,y)=4(3-x)(2

2、-y),fyy(x,y)=-2(6x-x2).在点(0,0)处,fxx=0,fxy=24,fyy=0,AC-B2=-242<0,所以f(0,0)不是极值;在点(0,4)处,fxx=0,fxy=-24,fyy=0,AC-B2=-242<0,所以f(0,4)不是极值;在点(3,2)处,fxx=-8,fxy=0,fyy=-18,AC-B2=8´18>0,又A<0,所以f(3,2)=36是函数的极大值;在点(6,0)处,fxx=0,fxy=-24,fyy=0,AC-B2=-242>0,所以f(6,0)不是极值;在点(6,4)处,

3、fxx=0,fxy=24,fyy=0,AC-B2=-242>0,所以f(6,4)不是极值.综上所述,函数只有一个极值,这个极值是极大值f(3,2)=36.3.求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值.解解方程组,得驻点.A=fxx(x,y)=4e2x(x+y2+2y+1),B=fxy(x,y)=4e2x(y+1),C=fyy(x,y)=2e2x.因为在点处,A=2e>0,B=0,C=2e,AC-B2=4e2>0,所以函数在点处取得极小值,极小值为.4.求函数z=xy在适合附加条件x+y=1下的极大值.解条

4、件x+y=1可表示为y=1-x,代入z=xy,于是问题化为z=x(1-x)的无条件极值问题.,.令得驻点.因为,所以为极大值点,极大值为.5.从斜边之长为l的一切直角三角形中,求有最大周界的直角三角形.解设直角三角形的两直角边之长分别为x,y,则周长S=x+y+l(0

5、腰直角三角形.6.要造一个容积等于定数的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小.解设水池的长为x,宽为y,高为z,则水池的表面积为S=xy+2xz+2yz(x>0,y>0,z>0).本题是在条件xyz=k下,求S的最大值.作函数F(x,y,z)=xy+2xz+2yz+l(xyz-k).解方程组,得唯一可能的极值点.由问题本身可知S一定有最小值,所以表面积最小的水池的长和宽都应为高为.7.在平面xOy上求一点,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离平方之和为最小.解设所求点的坐标为(x,y),则此

6、点到x=0的距离为

7、y

8、,到y=0的距离为

9、x

10、,到x+2y-16=0的距离为,而距离平方之和为.解方程组,即.得唯一的驻点,根据问题的性质可知,到三直线的距离平方之和最小的点一定存在,故即为所求.8.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大？解设矩形的一边为x,则另一边为(p-x),假设矩形绕p-x旋转,则旋转所成圆柱体的体积为V=px2(p-x).由,求得唯一驻点.由于驻点唯一,由题意又可知这种圆柱体一定有最大值,所以当矩形的边长为和时,绕短边旋转所得圆柱体体

11、积最大.9.求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.解设球面方程为x2+y2+z2=a2,(x,y,z)是它的各面平行于坐标面的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长宽高分别为2x,2y,2z,体积为V=2x×2y×2z=8xyz.令F(x,y,z)=8xyz+l(x2+y2+z2-a2).解方程组,即,得唯一驻点.由题意可知这种长方体必有最大体积,所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大.10.抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离.解设椭圆上点的坐标(x,y,z

12、),则原点到椭圆上这一点的距离平方为d2=x2+y2+z2,其中x,y,z要同时满足z=x2+y2和x+y+z=1.令F(x,y,z)=x2+y2+z2+l1(z-x2-y2)+l2(x+y+z-1).解方程组,得驻点,.它们是可能的两个极值点,由题意这种距离的最大值和最小值一定存在,所以距离的最大值和最小值在两点处