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《高数(上)第八单元课后习题答案8-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题8−31.求下列函数的全微分:x(1)z=xy+;y∂z∂z1x解dz=dx+dy=(y+)dx+(x−)dy.∂x∂yyy2y(2)z=ex;y∂z∂zyx1y解dz=dx+dy=−edx+exdy.∂x∂yx2xy(3)z=;x2+y23∂z122−2xy解因为=−y(x+y)=−,∂x2(x2+y2)3/222yx+y−y⋅∂zx2+y2x2==,∂yx2+y2(x2+y2)3/2−xyx2x所以dz=dx+dy=−(ydx−xdy).(x2+y2)3/2(x2+y2)3/2(x2+y2)3/2(4)u=xyz.解因为∂u=yz⋅xyz−1,∂u=zxyzlnx,∂u=yxyzl
2、nx,∂x∂y∂z所以du=yzxyz−1dx+zxyzlnxdy+yxyzlnxdz2.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.∂z2x∂z2y解因为=,=,∂x1+x2+y2∂y1+x2+y2∂z1∂z2x=1=,x=1=,∂xy=23∂yy=2312所以dzx=1=dx+⋅dy.y=233y3.求函数z=当x=2,y=1,∆x=0.1,∆y=−0.2时的全增量和全微分.xy+∆yyy1解因为∆z=−,dz=−∆x+∆y,x+∆xxx2x所以,当x=2,y=1,∆x=0.1,∆y=−0.2时,1+(−0.2)1∆z=−=−0.119,2+0.1211dz=−×0.1
3、+×(−0.2)=−0.125.424.求函数z=exy当x=1,y=1,∆x=0.15,∆y=0.1时的全微分.∂z∂zxyxy解因为dz=∆x+∆y=ye∆x+xe∆y∂x∂y所以,当x=1,y=1,∆x=0.15,∆y=0.1时,dz=e⋅0.15+e⋅0.1=0.25e*5.计算(102)3+(1.97)3的近似值.解设z=x3+y3,由于3x2∆x+3y2∆y(x+∆x)3+(y+∆y)3≈x3+y3+∂z∆x+∂z∆y=x3+y3+,∂x∂y2x3+y3所以取x=1,y=2,∆x=0.02,∆y=−0.03可得3⋅0.02+3⋅22⋅(−0.03)(1.02)3+(1.97)3
4、≈1+23+21+23=2.95.*6.计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693).解设z=xy,由于(x+∆x)y+∆y≈xy+∂z∆x+∂z∆y=xy+yxy−1∆x+xylnx∆y,∂x∂y所以取x=2,y=1,∆x=−0.03,∆y=0.05可得(1.97)1.05≈2−0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693≈2.093.*7.已知边长为x=6m与y=8m的矩形,如果x边增加5cn而y边减少10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解矩形的对角线为z=x2+y2,dzdz1∆z≈dz=∆x+∆y=(x∆x+y∆y),dxdyx2+y2当x=6,y=8,∆
5、x=0.05,∆y=−0.1时,1∆z≈(6⋅0.05−8⋅0.1)=−0.05.62+82这个矩形的对角线大约减少5cm.*8.设有一无盖圆柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm,内半径为4厘米,求容器外壳体积的近似值.解圆柱体的体积公式为V=πR2h,∆V≈dV=2πRh∆R+πR2∆h,当R=4,h=20,∆R=∆h=0.1时,∆V≈2×3.14×4×20×0.1+3.14×42×0.1≈55.3(cm3)这个容器外壳的体积大约是55.3cm3.*9.设有直角三角形,测得其两腰的长分别为7±0.1cm和24±0.1cm,试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.
6、解设两直角边的长度分别为x和y,则斜边的长度为z=x2+y2.∂z∂z1
7、∆z
8、≈
9、dz
10、≤
11、
12、⋅
13、∆x
14、+
15、
16、⋅
17、∆y
18、=(x
19、∆x
20、+y
21、∆y
22、).∂x∂yx2+y2令x=7,y=24,
23、∆x
24、≤0.1,
25、∆y
26、≤0.1,则得斜边长度z的绝对误差约为1δz=(7⋅0.1+24⋅0.1)=0.124cm.72+242*10.测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m和78±0.1m,这两边的夹角为60°±1°,试求三角形面积的近似值,并求其绝对误差和相对误差.1解设三角形的两边长为x和y,它们的夹角z,为则三角形面积为s=xysinz.2111dS=ysinzdx+xsinzdy+x
27、ycoszdz222111
28、∆S
29、≈
30、dS
31、≤ysinz
32、dx
33、+xsinz
34、dy
35、+xycosz
36、dz
37、.222ππ令x=63,y=78,z=,
38、dx
39、=0.1,
40、dy
41、=0.1,dz=,则318078363363×781πδs≈××0.1+××0.1+××=27.55,2222221801πS=⋅63⋅78⋅sin=2127.82,23δs27.552==1.29%,所以三角形面积的近似值为2127.82m,绝对误差
