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《高数(上)第八单元课后习题答案8-4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题8−41.设z=u2−v2,而u=x+y,v=x−y,求∂z,∂z.∂x∂y∂z∂z∂u∂z∂v解=⋅+⋅=2u⋅1+2v⋅1=2(u+v)=4x,∂x∂u∂x∂v∂x∂z∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅=2u⋅1+2v⋅(−1)=2(u−v)=4y.∂y∂u∂y∂v∂y2x∂z∂z2.设z=ulnv,而u=,v=3x−2y,求,.y∂x∂y∂z∂z∂u∂z∂v解=⋅+⋅∂x∂u∂x∂v∂x1u22x3x2=2ulnv⋅+⋅3=ln(3x−2y)+,yvy2(3x−2y)y2∂z∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅∂y∂u∂y∂v∂yxu22x22x
2、2=2ulnv⋅(−)+(−2)=−ln(3x−2y)−.y2vy3(3x−2y)y23.设z=ex−2y,而x=sint,y=t3,求dz.dt解dz=∂z⋅dx+∂z⋅dy=ex−2ycost+ex−2y⋅(−2)⋅3t2dt∂xdt∂ydtx−2y2sint−2t32=e(cost−6t)=e(cost−6t).3dz4.设z=arcsin(x−y),而x+3t,y=4t,求.dtdz∂zdx∂zdy1−12解=⋅+⋅=⋅3+⋅12tdt∂xdt∂ydt1−(x−y)21−(x−y)23(1−4t2)=.1−(3t−4t3)2x
3、dz5.设z=arctan(xy),而y=e,求.dxdyyex(1+x)dz∂z∂zxx解=+⋅=+⋅e=.dx∂x∂ydx1+x2y21+x2y21+x2e2xeax(y−z)du6.设u=,而y=asinx,z=cosx,求.a2+1dxdu∂u∂udy∂udz解=+⋅+⋅dx∂x∂ydxdzdxaeax(y−z)eaxeax=+⋅acosx−⋅(−sinx)a2+1a2+1a2+1eax=(a2sinx−acosx+acosx+sinx)=eaxsinx.a2+1x∂z∂zu−v7.设z=arctan,而x=u+v,y=u−v
4、,验证+=.y∂u∂vu2+v2∂z∂z∂z∂x∂z∂y∂z∂x∂z∂y证明+=(⋅+⋅)+(⋅+⋅)∂u∂v∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v111x111x=⋅+⋅(−)+⋅+⋅(−)⋅(−1)x2yx2y2x2yx2y21+()1+()1+()1+()yyyy2yu−v==.x2+y2u2+v28.求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数):(1)u=f(x2−y2,exy);解将两个中间变量按顺序编为1,2号,∂(x2−y2)∂(exy)∂u=f′⋅+f′⋅=2xf′+yexyf′,1212∂x∂x∂x∂(x2−y2)∂
5、(exy)∂u=f′⋅+f′⋅=−2yf′+xexyf′.1212∂y∂y∂yxy(2)u=f(,);yz∂u∂x∂y1解=f1′⋅()+f2′⋅()=f1′,∂x∂xy∂xzy∂u∂x∂yx1=f1′()+f2′⋅()=−2f1′+f2′,∂y∂yy∂yzyz∂u∂x∂yy=f1′()+f2′⋅()=−2⋅f2′.∂z∂zz∂zzz(3)u=f(x,xy,xyz).∂u解=f1′⋅1+f2′⋅y+f3′⋅yz=f1′+yf2′+yzf3′,∂x∂u=f2′⋅x+f3′⋅xz=xf2′+xzf3′,∂y∂u=f3′⋅xy=xyf3′.
6、∂zy∂z∂z9.设z=xy+xF(u),而u=,F(u)为可导函数,证明x⋅+y=z+xy.x∂x∂y∂z∂z∂u∂u证明x⋅+y⋅=x[y+F(u)+xF′(u)]+y⋅[x+xF′(u)]∂x∂y∂x∂yy=x[y+F(u)−F′(u)]+y⋅[x+F′(u)]x=xy+xF(u)+xy=z+xy.y1∂z1∂zz10.设z=,其中f(u)为可导函数,验证+=.f(x2−y2)x∂xy∂yy2∂z−y⋅f′⋅2x−2xyf′证明==,∂xf2(u)f2(u)fu−y⋅f′⋅−y2y2f∂z()(2)1−′==+,∂yf2(u)f
7、(u)f2(u)1∂z1∂z2yf′2yf′1111z所以⋅+⋅=−++⋅⋅=.x∂xy∂yf2uf2uyf(u)yyy2z22∂2z∂2z∂2z11.设z=f(x+y),其中f具有二阶导数,求,,.∂x2∂x∂y∂y2解令u=x2+y2,则z=f(u),∂z∂u=f′(u)=2xf′,∂x∂x∂z∂u=f′(u)=2yf′,∂y∂y∂2z∂u2=2f′+2xf′′⋅=2f′+4xf′′,∂x2∂x∂2z∂u=2xf′′⋅=4xyf′′,∂x∂y∂y∂2z∂u=2f′+2yf′′⋅=2f′+4yf′′.∂y2∂y∂2z∂2z∂2z12
8、.求下列函数的,,(其中f具有二阶连续偏导数):∂x2∂x∂y∂y2(1)z=f(xy,y);解令u=xy,v=y,则z=f(u,v).∂z∂f∂u∂f∂v∂f∂f∂f=⋅+⋅=⋅y+⋅0=y,∂x∂u∂x∂v∂x∂u∂
