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《高数(上)第八单元课后习题答案8-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题8−5x2dy1.设siny+e−xy=0,求.dxx−xy2,则Fx2解令F(x,y)=siny+ex=e−y,Fy=cosy−2xy,dyFe2−y2y2−ex=−x=−=.dxFycosy−2xycosy−2xy22ydy2.设lnx+y=arctan,求.xdx22y解令F(x,y)=lnx+y−arctan,则x12x1yx+yFx=22⋅x2y2−y⋅(−2)=22,x+y2+1+()2xx+yx12y11y−xFy=22⋅x2y2−y⋅=22,x+y2+1+()2xx+yxdyFxx+y=−=.dxFyx−y∂z∂z3.设x+2y+z−2
2、xyz=0,求及.∂x∂y解令F(x,y,z)=x+2y+z−2xyz,则yzxzxyFx=1−,Fy=2−,Fz=1−,xyzxyzxyz∂zFxyz−xyz∂zFyxz−2xyz=−=,=−=.∂xFzxyz−xy∂yFzxyz−xyxz∂z∂z4.设=ln,求及,zy∂x∂yxz解令F(x,y,z)=−ln,则zy11z1x11x+zFx=z,Fy=−z⋅(−y2)=y,Fz=−z2−z⋅y=−z2,yy∂zFz∂zFyz2所以=−x=,=−=.∂xFzx+z∂yFzy(x+z)∂z∂z5.设2sin(x+2y−3z)=x+2y−3z,证明+=1∂x
3、∂y证明设F(x,y,z)=2sin(x+2y−3z)−x−2y+3z,则Fx=2cos(x+2y−3z)−1,Fy=2cos(x+2y−3z)⋅2−2=2Fx,Fz=2cos(x+2y−3z)⋅(−3)+3=−3Fx,∂z=−Fx=−Fx=1,∂z=−Fy=−2Fx=2,∂xFz−3Fx3∂yFz−3Fx3于是∂z∂zFxFz121.+=−−=+=∂x∂yFzFz336.设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏∂x∂y∂z导数的函数,证明⋅⋅=−1.∂y∂z∂x解因为∂xFy∂yFz∂zFx=
4、−,=−,=−,∂yFx∂zFy∂xFz所以∂x⋅∂y⋅∂z=(−Fy)⋅(−Fz)⋅(−Fx)=−1.∂y∂z∂xFxFyFz7.设ϕ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程ϕ(cx−az,cy−bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足∂z∂za+b=c.∂x∂y证明因为∂zϕu⋅ccϕu,=−=∂x−ϕu⋅a−ϕv⋅baϕu+bϕv∂zϕv⋅ccϕv=−=,∂y−ϕu⋅a−ϕv⋅baϕu+bϕv所以∂z∂zcϕucϕvc.a+b=a⋅+b=∂x∂yaϕu+bϕvaϕu+bϕv∂2z8.设ez−xyz=0,求.∂x2解设F(x,y,z)=ez−xyz,则F
5、z∂zFxyzx=−yz,Fz=e−xy,=−=,∂xFez−xyz∂zzz∂z2y(e−xy)−yz(e−y)∂z∂∂z∂x∂x=()=∂x2∂x∂x(ez−xy)2y2z+(yez−xy2−yzez)yzez−xy2y2zez−2xy3z−y2z2ez==.(ez−xy)2(ez−xy)3∂2z9.设z3−3xyz=a3,求.∂x∂y解令F(x,y,z)=z3−3xyz−a3,则∂zFx−3yzyz∂zFy−3xzxz=−=−=,=−=−=,∂xFz3z2−3xyz2−xy∂yFz3z2−3xyz2−xy∂2z∂∂z∂yz=()=()∂x∂y∂y∂x∂
6、yz2−xy∂z2∂z(z+y)(z−xy)−yz(2z−x)∂y∂y=(z2−xy)2xz2xz(z+y)⋅(z−xy)−yz(2z−x)z2−xyz2−xy=(z2−xy)2z(z4−2xyz2−x2y2)=.(z2−xy)310.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:⎧z=x2+y2dydz(1)设⎨,求,;⎩x2+2y2+3z2=20dxdx解视y=y(x),z=z(x),方程两边对x求导得⎧dzdy⎧dydz=2x+2y2y−=−2x⎪dxdx,即⎪dxdx.⎨⎨dydzdydz⎪2x+4y+6z=0⎪2y+3z=−x⎩dxdx⎩dxdx解方
7、程组得∂y−x(6z+1)dzx=,=.∂x2y(3z+1)dx3z+1⎧x+y+z=0dxdy(2)设⎨222,求,;⎩x+y+z=1dzdz解视x=x(z),y=y(z),方程两边对z求导得⎧dxdy⎧dxdy++1=0+=−1⎪dzdz,即⎪dzdz.⎨⎨dxdydxdy⎪2x+2y+2z=0⎪2x+2y=−2z⎩dzdz⎩dzdz解方程组得∂xy−z∂yz−x=,=.∂zx−y∂zx−y⎧u=f(ux,v+y)∂u∂v(3)设⎨2,其中f,g具有一阶连续偏导数,求,;⎩v=g(u−x,vy)∂x∂x解视u=u(x,y),v=v(x,y),方程两边对
8、x求偏导得⎧∂u∂u∂v⎧∂u∂v⎪=f1′⋅(u+x)+f2′⋅
