【数学】湖北省武汉市外国语学校2013-2014学年高二下学期期中考试（文）

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1、一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，a∈R．若复数的虚部为1，则a＝（）A．B．C．D．2.函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是(　　)A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0,1]D．[－1,0)∪(0,1]3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件4.已知x

2、>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝　　　　(　　)A．2n　　　　　　B．n2C．3nD．nn5.　已知x，y之间的数据如表所示，则回归直线过点(　　)A．(0,0)B．(2,1.8)C．(3,2.5)D．(4,3.2)x12345y1.21.82.53.23.86．观察下列各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是(　　)A．①②B．①④C．③④D．②③87.设在上是单调递增函数，当时，，且，则（）A．　　B．C．　D．8.函数f(x)的定义域为开区

3、间(a，b)，导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个9.已知函数R)，则下列错误的是（）A．若，则在R上单调递减B．若在R上单调递减，则C．若，则在R上只有1个零点D．若在R上只有1个零点，则10.已知a为常数，函数有两个极值点，且，则（）A．B.C.D.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上。.11.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图），为了分析居

4、民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出200人作进一步调查，其中低于1500元的称为低收入者，高于3000元的称为高收入者，则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共是_________．12.函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________．13.复数满足，则的共轭复数__________14.已知正弦函数可以展开为，类似地，余弦函数可以展开为的形式，则15.函数在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是____．816.在边长为60cm的正方形铁皮的四

5、角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，则该箱子的最大容积是17.已知各项均为正数的数列{}，满足，，若，则三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－

6、sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，b∈R)的导函数的图象过原点．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；(2)若存在x＜0，使得＝－9，求a的最大值．20.（本小题满分13分）设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(

7、－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．21.（本小题满分14分）设函数有两个极值点，且，则：(I)求实数a的范围；(II)求的范围22.（本小题满分14分）已知称为x，y的二维平方平均数，称为x，y的二维算术平均8数，称为x，y的二维几何平均数，称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数。（I）试判断与的大小，并证明你的猜想。（II）令，，试判断M与N的大小，并证明你的猜想。（III）令，，，试判断M、N、P三者之间的大小关系，并证明你的猜想。8三、解答题:本大题共5小题，共65分．18.解：(1)选择②

8、式计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°·cos15°＝1－sin30°＝.。。。。。。。。。。。。。3’(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：法一　sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝