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1、浅谈解题教学中的联想与转化德阳教育科学研究所黄勇《费马大定理》一书这样写道：“费马大定理是17世纪法国数学家费马留给后世的一个不解Z谜•这个谜曾经吸引和困惑了世界上无数的智者，难倒过许多杰出的大数学家•直到358年之后的1995年，这个难题才终丁被英国剑桥的数学家安德鲁•怀尔斯攻克了・”这个叙述足以说明要攻克一个数学难题的艰辛.一个中学数学教师要编选、解答并处理好成千累力的数学问题，并非轻而易举Z事•在教学屮对烟波浩淼的题的海洋，能做到得心应手，并把学生从题海屮解救出来，岀路何在？到题海屮去游泳、去探索其解题的规律、探索优
2、化解题教学的方法吧！我们知道问题是数学的心脏，所以解决问题的教学也是教学的心脏，我们也清楚地知道教什么比怎么教更重要.但在教学实践中我们经常会听到数学教师的抱怨：这一道题都讲过好多遍了，为什么这次考试你（学生）述是未做对呢？也常常听到学生的感叹：一道题为什么老师会想出一个绝妙的解法，而口己总想不到呢？以上两个问题应该是相通的，那就是我们教师的解题教学出了问题•解题教学的核心是充分暴露教师的思维过程，从而教给学牛解决问题的策略方法•而教师解题思维过程的关键应是联想与转化，数学解题能力的高低归根结底应是问题的转化能力的高低，不
3、管解决什么问题，都是通过一步一步的转化，最后归结为我们熟悉的问题去处理，而要成功地进行转化重要的意识应该是联想，下而就解题教学屮如何实施联想转化，说说自己的休会.一、从题目表述、总体映象进行联想箸名美国数学家和数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中写道「'以前见过吗？是否见过相同的问题而形式稍有不同？”实质就是从题目表述、总体映象去联想•绝大多数由基础题稍加变式得到的新题口均可通过这种联想转化为熟悉的问题得到解决•下面看一个具休问题：问题1己知一段直的相同宽度的河岸两旁分别有一个村庄A和B,现拟修建一座垂直于河岸的桥CD,试
4、确定CD的位置使得两村庄人们来往的路程最近.【分析】通过读题、审题（画出草图图1）发现本题的实质是求AC+CD+DB的最小值，可以作一假设，如果河的宽度缩小即人与“的距离无限缩小，我们很快就会发现以前研究过与木题形式很类似的题目:问题1.1一条直线/两侧各冇一点A、B,在直线/上求一点P使AP+PB最小（师生都熟悉）.二、从解法上联想此次联想是很自然的，在题FI类似但又有些不同的情况下，你会毫不犹豫的联想到题FI的解法：你能不能利用它？能否利用它的结果？能否利用它的方法？若不能直接利用，应该引入些什么辅助元索等(转化).图
5、3问题1.1的解决方法是利用三角形两边Z和大于第三边，当P点运动到与AB共线吋(非三角形)达到最小值,即AP+BP>AB,那么能利用这个思想方法解决问题1吗？我们发现CD是个不变值，于是问题转化为求AC+DB的最小值•而AC与DB不是相交的，怎么办？引入辅助元索：作辅助线(平移)使AC与DB相接.产生想法：过D作CA的平行线段DE,问题已转化为求ED+DB的最小值，这己是问题1・1解决了的事，那么问题的解法策略便出来了：过D作DE//CA,连结BE交％于"，过”作DC〃dc交厶于C',连结AC、AE,则AC+CD+DB=A
6、E+ED+DB>AE+EB,当CD移动到CD时，取等号，即CQ'即为桥的位置.三、从题目屮形式、结构特征进行联想深入分析题目中式了的形式、结构特征，联想它们与我们熟悉的那些公式、定理、结论的特征有哪些相同和不同的地方.若相同是否可以直接利用，若不同，是否可以通过变换后，结构相同而利用呢？如著名的柯西不等式：曰曰㈢的结构就类似我们熟悉的员=4必形式.于(兀)二工a兀一巾yno于是产生证明方法构造函数日恒成立•这是大家都非常熟悉的事情。再
7、2兀+)*如：我们看到逅就会联想到点P(X、V)到直线2x+"°的距离•看到J(—1)2
8、+4，+J(x+1)2+1可联想到兀轴上p(X,0)点到两定点A(1,2),B(-1,1)的距离Z和•看到求"2兀+的取值范围可以联想到求直线y=~2x+b纵载距的取值范围，看到比较"""与an-a(n>^h>a>)的大小时就可以联想到fM=xfl-x仪〉1,兀>1)的单调性等等.四、从题目屮已知条件、特殊符号、数进行联想认真分析题目中已知条件包扌舌特殊符号，一些数值充分发挥我们的想象•联想某些概念、表述、结论，从而构造某种方法解决问题.如：由戾-4ac联想到二次方程的判别式由1可以想到l=sin2^+cos2^l=li
9、4[=（I_；）+（；_：；）+C?_T）++722334nn++1由等腰三角形可联想到中线产生垂•直.由直角三角形可联想到斜边上中线等于斜边的一半，从而产生相等线段及等腰三角形.由e可以想到yiz等.在数列题中遇恒成立常联想到数列的单调性，求最值等等.问题2：直线AB与直二面角a~l~0的两个半平
