转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲

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1、转化与化归的思想方法(2)---高考题选讲化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化

2、为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行　，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（　　）.               分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.         【例２】设x、y∈Ｒ且3

3、x2+2y2=6x，求x2+y2的范围.       分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的范围的问题.其中要注意隐含条件，即x的范围.       解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的范围是：０≤x2+y2≤4.       分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）       解法2： 由用心爱心专心      

4、        所以x2+y2的范围是：０≤x2+y2≤4.       【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型. 【例３】求值：cot10°-4cos10°       分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.       解法：cot10°-4cos10°                     【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程

5、是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.【例4】球面上有３个点，其中任意两点的球面距离都相等于大圆周长的，经过３个点的小圆周长为４π，那么这个球的半径为（　　）.              分析：将空间的问题转化为平面的问题来处理，这是解题的通法.由任意两点球面距离相等，则这

6、三点构成过这三点截面上的等边三角形，又球面距离等于大圆周长的用心爱心专心，则任意两点与球心构成的圆心角为，即，且任意两点与球心构成过这两点大圆截面上的等边三角形，则球半径等于球面上这三点任意二点的平面距离.运用转化的思想方法，把求球半径的问题转化为已知过球面三点的小圆周长，求这小圆上内接正三角形的边长.       解：设Ａ、Ｂ、Ｃ为球面上三点，过其中Ａ、Ｂ两点的大圆，如图，              Ｏ为球心，则∠ＡＯＢ＝=，       且ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.       则ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ.       同理ＯＣ＝ＯＡ＝ＯＢ＝Ｒ，ＯＢ＝ＯＣ＝ＢＣ＝

7、Ｒ，∴△ＡＢＣ为等边三角形.       设过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的小圆为⊙Ｏ′，如图２，              半径为r，则由2πr=4π，得r=2，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝Ｒ＝2rsin=4=2.∴应选Ｂ.       【点评】这里用了降维转化的思想方法，转化的对象为求球的半径，转化的方向为求△ＡＢＣ的边长，转化的条件是“任意两点的球面距离都等于大圆周长的”.【例5】（浙江卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：       （Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；       （Ⅱ）－２＜<-1；       （Ⅲ

8、）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.       思路分析：对于